En el proceso de cálculo multiplicativo del modelo binomial podríamos suponer que
el factor de descenso D es igual a la inversa del factor de ascenso U, lo que
provocaría que los rendimientos del activo fueran simétricos. Ahora bien, téngase
en cuenta que para que esto suceda deberemos medir dicho rendimiento a través
del logaritmo de la relación entre el precio en un momento determinado (St) y el
del momento precedente (St-1). Esto es así, debido a que si, por ejemplo, el precio
de una acción durante tres instantes de tiempo consecutivos vale 100, 120 y 100
euros, respectivamente, sus rendimientos serán del 20% (es decir, 20÷100) y del -
16,66% (es decir, -20÷120), como se observa el valor absoluto de ambas cantidades
no es simétrico aunque el ascenso y descenso sea el mismo en euros, lo que
cambia es la base sobre la que se calcula dicha variación. Sin embargo, si aplicamos
el cálculo logarítmico obtendremos unos rendimientos de: Ln(120÷100) =
18,23% y Ln(100÷120) = -18,23%, lo que sí los hace simétricos. Por lo tanto, los
precios que se distribuyen según una normal logarítmica tendrán unos rendimientos
distribuidos normalmente, que serán calculados según la expresión:
rt = Ln (St ÷St-1)
En la figura 17 se muestra un ejemplo de un árbol binomial donde los coeficientes
de ascenso y descenso son, respectivamente, U = 1,2 y D = 1/U = 0,833,
que se extiende a lo largo de seis períodos y que comienza con un valor de la
acción de 100 euros. La amplitud de un árbol binomial dependerá del tamaño de U
y del número de pasos en los que se descompone. El supuesto equivalente para un
activo cuyos rendimientos se distribuyen según una normal, es que la varianza de
los rendimientos es constante en cada período. Así, si la varianza del período es σ2
,
la varianza para t años será σ2
t. Mientras que la desviación típica será σ√t a la que
se le suele denominar volatilidad del activo.
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