3 El modelo binomial para varios períodos

No es mi intención explicar la matemática que aplicada a una serie de períodos (basada en el triángulo de Pascal y en la combinatoria) proporciona la expresión de la binomial para la valoración de las opciones de tipo europeo. Como curiosidad mostraremos la expresión de la misma:

Casi todas las variables ya son conocidas a excepción de "n" que indica el número de pasos en los que se descompone el proceso binomial. En resumen, la expresión considera que la opción vale simplemente el valor actual de los flujos de caja esperados a lo largo de un árbol binomial con n pasos, cuyos principales supuestos básicos son: 

1º. La distribución de los precios de las acciones es una binomial multiplicativa. 

2º. Los multiplicadores U y D (y, por ende, las varianzas de los rendimientos) son los mismos en todos los períodos. 

3º. No hay costes de transacción, por lo que se puede establecer una cobertura sin riesgo para cada período entre la opción y el activo sin necesidad de realizar ningún coste irrecuperable. 

4º. Los tipos de interés sin riesgo se suponen constantes. 

Es importante recalcar que no es necesario asumir que los inversores tengan una determinada actitud hacia el riesgo, de hecho el modelo supone una neutralidad ante el riesgo porque se puede construir una cartera de arbitraje que elimina totalmente el riesgo de la inversión. Si el valor de la opción no coincide con éste, entonces se puede conseguir un beneficio sin riesgo.

2. El método binomial para dos períodos III

Por otro lado, los ratios de cobertura deberán ser recalculados para cada nudo del grafo cuando hay dos o más períodos de tiempo. Así, por ejemplo:

El ratio de cobertura del nudo cu es igual a la unidad puesto que la opción de compra se encuentra claramente dentro de la zona "in the money" por lo que el flujo de caja será siempre positivo. Por el contrario, el del nudo cd es igual a cero mostrando que la opción es claramente “out of the money” porque sus flujos de ca- ja del próximo período van a ser nulos. Conforme el tiempo transcurre es necesario revisar el ratio de cobertura y si el tiempo hasta el vencimiento se divide en un gran número de subperíodos entonces el ratio de cobertura se puede utilizar para determinar la exposición al riesgo con bastante exactitud.

2. El método binomial para dos períodos II

Así, por ejemplo tendremos:

Por tanto el valor de la opción de compra para dos períodos es de 14,98 €. Resumamos ahora todo el proceso: la valoración comienza con los flujos de caja del último período que son conocidos, luego se va retrocediendo hacia la izquierda hasta llegar al momento actual. 

El procedimiento es muy sencillo aunque algo tedioso cuando hay muchos períodos. Esto último es importante puesto que para obtener un valor realista de la opción necesitamos elegir U y D cuidadosamente y dividir el tiempo hasta el vencimiento en una multitud de pequeños subperíodos. Conforme vayamos aumentando el número de subperíodos y, por consiguiente, reduciendo el tiempo de los mismos pasaremos de considerar el tiempo como una variable discreta a considerarlo una variable continua. En realidad, para unos resultados válidos el tiempo hasta el vencimiento debería ser dividido al menos en unos 50 subperíodos (esto proporcionaría 51 valores de la acción subyacente y otros tantos valores intrínsecos de la opción7).

2. El método binomial para dos períodos I

Con objeto de obtener el valor de la opción de compra europea6 para varios períodos, primeramente vamos a aplicar el método binomial para un par de ellos. Así que si seguimos utilizando los datos del ejemplo que venimos manejando y seguimos suponiendo que el coeficiente de crecimiento del precio de la acción es U = 1,2 y que el de decrecimiento sigue siendo D = 0,833 podremos ver como, transcurridos un par de períodos, la cotización de la acción ha podido ascender hasta un máximo de 144 €, o bien acabar descendiendo hasta un mínimo de 69,39 €, o tomar un valor intermedio de 100 €. 

El valor de la opción de compra europea se calcula restando el precio de ejercicio (100 €) del valor de la acción al final del segundo período, sabiendo que si el resultado es negativo el valor de la opción será cero. Así, tendremos los siguientes valores de la opción de compra al final del segundo período: 44, 0 y 0 (véase la figura 13).

El proceso comenzará de derecha hacia la izquierda, período a período. Primeramente deberemos calcular valor de la opción de compra al final del primer período, tanto en el caso de ascenso de la cotización de la acción (cu) como de descenso (cd) en función de los posibles valores que pueda tomar la misma al final del segundo período. Para ello utilizaremos las expresiones matemáticas analizadas en el epígrafe anterior.

1. El método binomial para un período IV

Así, por ejemplo, si sustituimos en la ecuación de m las variables por los datos del ejemplo con el que venimos trabajando obtendremos dichas probabilidades:
m = (1 + 0,06 - 0,833) ÷ (1,2 - 0,833) = 61,85% de que ascienda 1-m = 38,15% de que descienda

Por tanto, si ahora retomamos nuestra demostración y sustituimos parte de la ecuación anterior por el valor de 1-m, obtendremos:
cu - (cu - cd) (1-m) = c(1 + rf)
ahora despejando c, obtendremos la expresión que calcula el valor de la opción de compra según el método binomial que, como se puede apreciar, consiste en calcular la media ponderada de los flujos de caja proporcionados por la opción de compra tanto si el precio del activo subyacente asciende como si desciende, y utilizando como ponderaciones las probabilidades implícitas de que dicho precio del activo suba o caiga. Y todo ello actualizado al tipo libre de riesgo:

Concretando, el precio teórico de la opción de compra es igual al valor actual de la media ponderada de los flujos de caja que proporciona. Para demostrar que ésta es la ecuación que buscamos sustituiremos las variables por sus valores:
c = (20 x 0,6185 + 0 x 0,3815) ÷ (1,06) = 11,67

1. El método binomial para un período III

Si ahora restamos una ecuación de la otra y despejamos el valor de H, obtendremos el valor del denominado ratio de cobertura:

Estos valores representan la probabilidad implícita5 de ascenso (m) y de descenso (1-m) del valor de la acción subyacente.

1. El método binomial para un período II

En el momento actual, el valor de la opción de compra, c, será igual al valor actual de la cartera formada por H acciones más una deuda de B euros, es decir, 100 H – B = 100 x 0,545 – 42,83 = 11,67 euros. Antes de continuar, usted se preguntará que por qué motivo la deuda B debe recibir un tipo de interés sin riesgo y no un tipo de mercado.
La respuesta es simple. Si usted observa en las dos ecuaciones anteriores verá que la combinación formada por H acciones y la venta de una opción de compra sobre ellas no tiene riesgo puesto que proporciona siempre el mismo valor (45,40 euros, que es el valor de la deuda B más los intereses a pagar) tanto si la acción aumenta de valor y se sitúa en 120 € como si desciende a 83,3 €:

120 H – 20 = 83,3H – 0 = 45,40 

Si ahora queremos obtener el valor de la opción de compra mediante una expresión general, lo primero que haremos será reproducir el valor intrínseco de la opción dentro de un período e igualarlo a los flujos de caja de la cartera de arbitraje:

cu = SUH – (1 + rf) B

cd = SDH - (1 + rf) B

donde S es el precio de la acción subyacente en la actualidad, SU será el precio de la acción dentro de un período si es alcista, pues si fuese bajista se le denominaría SD (donde U y D son los coeficientes por los que hay que multiplicar S para obtener el precio de la acción al final del período –en nuestro ejemplo U = 1,2 y D = 0,833-). Por otra parte, el precio de la opción de compra en la actualidad sería c, siendo cu y cd, respectivamente, para los casos en que el precio de la acción haya ascendido o haya bajado.

1. El método binomial para un período I

Supongamos que el valor actual de una acción es de 100 €, y que dentro de un período dicho título puede tomar un valor de 120 €, o bien, haber descendido hasta los 83,3 €3. La probabilidad de que ocurra un resultado u otro no importa, sólo interesa el rango de resultados posibles. Si adquirimos por c euros una opción de compra europea sobre dicha acción con vencimiento dentro de un período y precio de ejercicio 100 euros, sabemos que podrá valer 20 euros, si la acción se sitúa en 120 €, o bien 0 euros si la cotización de la acción desciende a 83,3 € (véase la figura 12).

Fig. 12 Precios de la acción ordinaria y valores de su opción de compra Una forma de valorar un activo financiero (una opción en nuestro caso) consiste en saber cuanto vale otro activo financiero, o una combinación de activos financieros, que genere exactamente los mismos flujos de caja que el activo a valorar. Este método lo vamos a utilizar para valorar la opción de compra anterior. La cartera que vamos a utilizar como comparación4 del valor de la opción (c) se compone de H acciones y de un préstamo que hemos contraído por B euros a un tipo de interés sin riesgo (rf). Por tanto, dentro de un período los flujos de caja de dicha cartera pueden tomar los dos valores siguientes:

 Si S = 120 € 􀃆 120 H - (1 + rf) B = 20 €

Si S = 83,3 € 􀃆 83,3 H - (1 + rf) B = 0 €

restando ambas ecuaciones obtendremos el valor del número de acciones ordinarias a comprar (H):

36,7 H = 20 􀃆 H = 0,545

si el tipo sin riesgo rf es igual al 6% podemos detraer el valor de B en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores: 42,83 euros.
.

EL MÉTODO BINOMIAL DE VALORACIÓN DE OPCIONES

Cox, Ross y Rubinstein2 desarrollaron este método de valoración de opciones, que tiene la ventaja de que, además de ser muy intuitivo, utiliza una matemática muy sencilla. Para mostrar su funcionamiento vamos a aplicarlo a la valoración de acciones ordinarias y para hacer más simple la exposición comenzaremos suponiendo que la acción no reparte dividendos.

3. La relación entre los precios de las opciones de compra y de venta europeas: la paridad "put-call" II

Como hemos visto anteriormente la opción de venta americana (P) vale lo mismo o más que la europea (p) por lo tanto se podría decir que:

P ≥ c - S + VA(X) o que c ≤ P + S - VA(X) 

Por tanto, si tomamos un periódico financiero y calculamos el valor de la opción de venta de tipo americano en función del valor de la opción de compra americana (no se olvide que c = C), del valor de la acción subyacente y del valor actual del precio de ejercicio, observaremos como hay una disparidad entre el valor que acabamos de calcular y el valor de la cotización de dicha opción de venta en el mercado. Esa disparidad se debe no sólo a que P ≥ p si no a que también influye la proximidad del pago de los dividendos esperados por parte de la empresa emisora de las acciones. Por ello la expresión anterior podría ser rescrita de la siguiente forma: 

P ≥ c – [S - VA(D)] + VA(X)

3. La relación entre los precios de las opciones de compra y de venta europeas: la paridad "put-call"

En este subepígrafe vamos a ver como hay una relación entre los precios de las opciones de compra y los de las de venta. Para ello supongamos dos alternativas:
a) Podemos adquirir una opción de compra europea (c).
 b) Podemos comprar una acción subyacente (S), adquirir una opción de venta europea (p) y pedir prestado el valor actual del precio de ejercicio (VA(X)) al tipo de interés sin riesgo (rf). Como se aprecia en la tabla de la figura 11 ambas alternativas son iguales. Así si en la fecha del vencimiento S*< X el resultado en ambos casos es igual a 0, mientras que si ocurriese lo contrario el flujo de caja en dicho instante sería igual a S*- X para ambas alternativas. Por lo tanto, se puede decir que en la actualidad el precio de una opción de compra europea es igual a la suma del precio actual de la acción subyacente más el precio de una opción de compra menos el valor actual del precio de ejercicio:

  c = S + p - VA(X) 

o que en el caso de la opción de venta europea:

  p = VA(X) - S + c

2. Límites del arbitraje sobre opciones de venta III

La diferencia entre las opciones de venta europeas y americanas es bastante importante puesto que, a diferencia de lo que ocurría con las opciones de compra, son necesarios dos modelos distintos para valorar ambos tipos de opciones. Si el precio del activo subyacente es bajo el valor de la opción de venta americana se aproximará a X-S, al no haber incertidumbre que aumente su valor. Por el contrario, si el precio del activo es claramente alto el valor de la opción de venta se aproximará a cero, puesto que casi no habrá posibilidad de ejercerla con beneficios. Estas dos situaciones se han denominado "x" e "y" en la figura 10. La delta de las opciones de venta tomará un valor igual a -1 (cuando el precio del activo es muy bajo) hasta 0 (cuando dicho precio es bastante alto).

2. Límites del arbitraje sobre opciones de venta II

Conclusión: Una opción de venta americana "vale más muerta que viva", es decir, vale más ejercida que vendida, debido a que el límite de que esté "viva" es más pequeño que el valor intrínseco ("muerta") antes del vencimiento:

  X - S ≥ VA(X) - S 􀃆 P ≥ p

Fig.10 Relación entre el valor de la opción de venta y el precio del activo subyacente. 

2. Límites del arbitraje sobre opciones de venta I

Los primeros límites son parecidos a los que vimos para las opciones de compra. Así, la opción de venta tomará siempre un valor positivo o nulo (p ≥ 0). Su valor siempre será inferior o igual al del precio de ejercicio de la opción (p ≤ X). Y el valor de la opción de venta de tipo americano será mayor o igual a la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio del activo subyacente (P ≥ X - S). El cuarto límite consiste en que el valor de una opción de venta de tipo europeo será mayor o igual a la diferencia entre el valor actual del precio de ejercicio y el valor del activo subyacente: p ≥ VA(X) - S. Para demostrarlo supongamos que tenemos dos alternativas:

a) Podemos adquirir una acción pagando su precio S.
b) Podemos vender una opción de venta europea (p) e invertir el valor actual del precio de ejercicio (VA(X)) al tipo de interés sin riesgo (rf).

Como se aprecia en la tabla de la figura 9, si el precio del activo fuese inferior al precio de ejercicio (S*< X) ambas alternativas son semejantes, puesto que el flujo de caja que proporcionan es el mismo: S*. Pero, si ocurriese al revés S*≥ X, entonces la alternativa B proporciona un flujo de caja (X) que es inferior al proporcionado por la otra (S*). Esto nos lleva a decir que la alternativa A deberá ser hoy igual o más cara que la B. Así:

S ≥ VA(X) - p 􀃆 p ≥ VA(X) - S

1.Límites del arbitraje sobre opciones de compra IV

La pendiente de dicha línea curva representativa del valor de la opción se denomina delta y es muy importante en términos de cobertura de las posiciones sobre opciones. Así, por ejemplo, si vendemos una opción de Repsol-YPF que, por ejemplo, tiene una delta = 0,5 sabemos que si el precio de la acción subyacente aumenta en una unidad el de la opción lo hará en 0,5. Así si emitimos una opción de compra sobre 100 acciones de Repsol deberemos adquirir 0,5 x 100 = 50 acciones de la compañía petrolera para proteger nuestra posición de cualquier cambio en el precio de dichas acciones. 

La delta, cuyo valor oscila entre cero y uno, no es constante ya que varía continuamente por ello la cobertura establecida con base en ella sólo es efectiva para pequeñas alteraciones en el precio del activo subyacente. Así, si el precio de la acción de Repsol sube un poco la delta puede valer 0,55 lo que haría necesario adquirir cinco acciones más para mantener la cobertura anterior. La tasa de variación de la delta se denomina gamma. De una manera informal diríamos que es el grado por el que la relación entre el precio de la opción y el de la acción no es lineal. Formalmente, se define como la segunda derivada parcial de c con respecto a S (∂ 2 c/∂S 2 ). 

Cuando nos referimos al riesgo de la gamma, queremos decir que la cobertura deberá ser revisada continuamente. Tal y como se puede apreciar en la figura 8 la gamma es más grande en la zona at-the money, por ser cuando una pequeña variación en el precio del activo provoca una alteración mayor en el valor de la delta, la gamma es más pequeña en las zonas in y out of the money.

1.Límites del arbitraje sobre opciones de compra III

Estos dos límites nos pueden permitir situar dos puntos en el gráfico representativo de la relación entre el valor de la opción de compra y el precio de su activo subyacente que aparece en la figura 8. El primer punto, "x", se encuentra en el origen, mientras que el segundo, "y", está situado casi encima de la recta representativa del límite inferior del valor de la opción S-VA(X). 

Como se puede apreciar la derivada parcial en el origen del valor de la opción de compra con relación al precio del activo (∂c/∂S) es aproximadamente cero, esto es, si el precio de la acción se mueve un poco el valor de la opción no lo hará, puesto que al ser una opción que se encuentra situada profundamente en la zona out-of-the-money, cualquier crecimiento unitario del precio del activo no tendrá ningún impacto sobre la probabilidad de obtener beneficios si se ejerce la opción en su vencimiento. En el punto "y" ocurre lo contrario al ser una opción claramente in-the-money, por lo que cualquier pequeño cambio en el precio del activo se refleja en una variación idéntica en el valor de la opción (∂c/∂S=1).

1.Límites del arbitraje sobre opciones de compra II

En la figura 7 se puede apreciar como si el precio de ejercicio supera al valor de la acción la alternativa B es preferible a la A pues sus flujos de caja totales son mayores ya que X > S*. Mientras que si sucediese lo contrario, ambas alternativas tendrían los mismos flujos de caja (S*). Por ello, la alternativa B deberá costar hoy más, o al menos igual, que la A: 

c + VA(X) ≥ S 􀃆 c ≥ S - VA(X) 

Como resulta que: S - VA(X) ≥ S - X, se puede deducir que el ejercicio inmediato de una opción de compra americana proporciona unos flujos de caja (S - X) inferiores al mínimo valor de una de tipo europeo no ejercida (S - VA(X)), de donde se puede concluir que el ejercer una opción de compra antes del vencimiento no crea ningún valor adicional. De aquí la frase "un opción de compra viva vale más que una muerta". Podemos resumir diciendo que, en ausencia de dividendos, una opción de compra europea viene a tener el mismo valor que una de tipo americano, lo cual implica que el método de valoración puede ser el mismo para ambos tipos de opciones de compra. 

Podemos apreciar otros dos límites. El primero es que si el precio del activo subyacente es nulo el valor de la opción de compra también lo será. El segundo, es que si el precio del activo es muy alto en comparación con el precio de ejercicio (la opción es profundamente in-the-money), entonces el valor de la opción se aproxima mucho a su límite inferior (S - VA(X)); la razón es que la probabilidad de ejercer la opción es prácticamente del 100% y no existe ninguna incertidumbre que pueda conferirle un valor extra.

1.Límites del arbitraje sobre opciones de compra I

Lo primero que tenemos que considerar es que una opción de compra (europea o americana) no puede valer menos de cero, puesto que la opción o tiene valor o no lo tiene, es decir, cuando se tiene el derecho a hacer algo se tiene o un valor positivo o no se tiene nada. Así pues:

c ≥ 0 

Una opción no puede valer más que su activo subyacente (S). Es lógico, pues si una opción sobre Telefónica valiese 20 euros, y las acciones de dicha compañía valen 18 euros, sería preferible adquirir éstas últimas en vez de los títulos que dan derecho a adquirirlas:

c ≤ S 

Por otro lado, el valor de una opción de compra americana (C), que recordemos puede ser ejercida inmediatamente, es superior o igual a la diferencia entre el precio del activo subyacente (S) y el precio de ejercicio (X). Es decir, es mayor o igual que su valor intrínseco:

C ≥ S - X

El cuarto punto que debemos considerar es que el valor de una opción de compra europea (c) es superior o igual al resultado de restarle al precio del activo subyacente (S) el valor actual del precio de ejercicio (VA(X)). Para demostrarlo supongamos que tenemos dos alternativas:
a) Adquirir una acción subyacente en la actualidad a un precio S
b) Adquirir una opción de compra sobre dicha acción a un precio c y, al mismo tiempo, depositar suficiente dinero a un tipo libre de riesgo (rf) para que al vencimiento de la opción se obtenga el precio de ejercicio (X); dicha cantidad de dinero será igual a VA(X).

LOS LÍMITES DEL ARBITRAJE CON OPCIONES

En el epígrafe anterior hemos visto qué variables afectan al valor de las opciones así como en qué sentido influyen sobre el mismo. En este epígrafe vamos a seguir estudiando dichas influencias de una manera algo más profunda a través del estudio del arbitraje sobre opciones. Comenzaremos con el arbitraje sobre las opciones de compra, seguiremos estudiando el arbitraje sobre opciones de venta y finalizaremos con el estudio de la denominada teoría de la paridad put-call.

6º. Los dividendos.

Los dividendos repartidos por la acción subyacente también afectan al valor de la opción. Pues cuanto mayores sean los dividendos más bajo será el coste de la opción de compra (véase el ejemplo del primer epígrafe), puesto que se supone que al repartirse los dividendos el precio de mercado de la acción descenderá, o no subirá tanto como debiera, lo que puede retraer a los posibles adquirentes de las opciones de compra. Con la opción de venta ocurrirá justo lo contrario, puesto que si desciende el precio de mercado del activo subyacente ello redundará en un aumento del valor de la opción de venta.

Otra forma de verlo es mediante la figura 6. En ella el signo “+” significa que si la variable asciende también lo hace el valor de la opción, o si desciende lo mismo le pasa a dicho valor. Por el contrario, el signo “-” indica que si la variable aumenta el valor de la opción tiende a descender y viceversa.

5º. El tipo de interés sin riesgo.

El valor de la opción depende de la tasa de descuento que se aplica en el mercado financiero a las inversiones financieras libres de riesgo (rf). Esto es así porque al combinar la emisión de opciones de compra sobre acciones con la tenencia de las propias acciones es posible eliminar totalmente el riesgo de la inversión. En realidad, la adquisición de una opción de compra equivale, desde el punto de vista financiero, a adquirir una acción con parte del pago aplazado. El pago inicial vendrá dado por el coste de la opción (c), mientras que la parte aplazada será el valor actualizado del precio de ejercicio (X) al tipo de interés libre de riesgo rf (tal y como observamos en el ejemplo del primer epígrafe). Así que el precio actual de la acción, S0, deberá ser como máximo igual a:

S0 = c + X / (1 + rf)

de donde despejando el valor de la opción de compra, obtendremos una expresión que nos indica que cuanto más grande sea el valor del tipo de interés sin riesgo mayor será la prima de la opción de compra.

c = S0 - X / (1 + rf)

Pero aquí existe una contradicción, derivada del hecho de que S0 no es neutral con respecto a rf, puesto que como se sabe el precio actual de una acción es una función inversa del tipo de interés libre de riesgo1. Esto es, si suponemos que el tipo libre de riesgo asciende, el valor actual de la acción tenderá a disminuir con lo que el valor de la opción seguirá esta misma tendencia, con arreglo a lo explicado en el punto 1 de este mismo epígrafe, con lo que se llega a una conclusión contraria a lo expuesto anteriormente y mantenido por un gran número de autores. 

En realidad, la idea de que al ascender el tipo de interés el valor de la opción de compra asciende es cierta si suponemos la cláusula "ceteris paribus" para el resto de las variables de la ecuación, pero en este caso ello es imposible de hacer puesto que la variación del tipo de interés afecta tanto al precio del activo subyacente como al de la opción. Sería tanto como suponer que en una palanca uno de sus brazos permanece quieto mientras que el otro se mueve, semejante suposición es imposible de cumplir, pues lo mismo ocurre aquí con el tipo de interés. 

En la figura 2 se puede apreciar que en el punto D la línea representativa del valor de la opción se vuelve asintótica a la recta IX, lo que nos indica que cuanto mayor sea la diferencia [S´-X] más tenderá a aproximarse el precio de la opción, c, al valor actualizado de dicha diferencia. Puesto que cuanto mayor sea c, mayor será la probabilidad de que S´>X y menor la de que S´

4º. El tiempo de vida de la opción.

El precio incluye un elemento temporal, que tiende a decrecer al aproximarse la fecha de expiración del contrato de la opción. Es decir, cuanto menos le quede de vida a la opción de compra menor será su valor, puesto que menos probabilidades tiene el precio de mercado de superar al de ejercicio (o de ser inferior al mismo, si nos referimos a las opciones de venta). 

Volvamos a observar el ejemplo mostrado en la figura 3, en el que podemos ver como si la opción sobre el Ibex-35 vence en Enero, vale menos que si lo hace en Febrero y ya no digamos si es en Marzo. Un corolario importante es que, por lo general, un inversor preferirá no ejercer una opción de compra antes de la fecha de expiración del contrato, debido a que, incluso, si el precio de mercado, S, supera al precio de ejercicio, X, aún hay tiempo para que aquél se incremente aún más. Asimismo, el poseedor de una opción conseguirá un mayor rendimiento vendiéndola en lugar de comprar la acción subyacente correspondiente y enajenándola seguidamente. En el caso de la figura 3, nos dan 210 puntos (2.100 euros) por la opción de compra con precio de ejercicio 9.800 y vencimiento en Enero, lo que es preferible a comprar el activo subyacente por 9.800, su precio de ejercicio, y venderlo en 9.890,2 puntos, su precio de mercado (ganancia 90,2 puntos o 902 euros). 

La diferencia (119,8 puntos o 1.198 euros) es conocida como el valor del elemento temporal de la opción, que refleja la ganancia potencial de un posterior aumento esperado en el precio de la acción, que puede tener lugar en el tiempo que resta hasta la expiración del contrato (véase la zona sombreada de la figura 2). En la figura 5 se muestra como conforme se aproxima la fecha de vencimiento de la opción su valor de mercado tiende a fundirse con su valor teórico o intrínseco. Sobre este tema volveremos en el epígrafe siguiente.

3º. La volatilidad del activo subyacente.

La magnitud de las oscilaciones del precio del activo subyacente –su volatilidad- influye directamente en el tamaño del precio de la opción de compra o de venta. De tal manera que a mayor riesgo mayor precio y viceversa. Estadísticamente es la dispersión del rendimiento del activo subyacente, siendo el rendimiento las variaciones del precio durante el periodo considerado.

Fig. 4. Efecto de la volatilidad del precio de un activo subyacente sobre el valor de una opción 

Por ejemplo, en la figura 4 se consideran dos activos subyacentes el A y el B, donde el primero tiene mayor riesgo que el segundo. Si suponemos que estos títulos tienen el mismo precio de mercado esperado, S, y que las opciones de compra que pueden ser adquiridas sobre cada uno de los dos tienen un precio de ejercicio X, igual en ambas. Si X es mayor que S, en ambos casos (out of the money), el comprador de la opción espera que antes de la expiración del contrato, los precios de mercado de ambos activos (Sa, Sb) hayan superado el valor del precio de ejercicio (X). Esto es más probable en el caso de A que en el de B, al ser su variabilidad mayor que la de ésta última (véase el área rayada). Así que al ser más fácil obtener beneficios con A que con B, el precio de la opción de compra de títulos A será superior al de la de los títulos B. Lo mismo se puede decir del caso de las opciones de venta (put).

2º. El precio de ejercicio.

Cuanto más bajo sea el precio de ejercicio (X) mayor será el precio de la opción de compra (c), puesto que existirá una mayor probabilidad de que el precio de mercado de la acción acabe superando al de ejercicio; ocurriendo justo lo contrario en el caso de las opciones de venta (put -p-). En la figura 3 se puede apreciar, por ejemplo en el caso de las opciones sobre el índice del mercado continuo de la Bolsa de Madrid el Ibex-35, como a medida que los precios de ejercicio son menores crece el precio de la opción si es de compra (call) y desciende si es de venta (put).

1º. El valor intrínseco de la acción o del activo subyacente.

La línea OXI marca el límite inferior del precio de la opción. Cuando el precio de la acción es inferior al precio de ejercicio de la opción (strike price) - caso out of the money -, el menor valor que puede tomar la opción es cero. Y cuando el precio de la acción, S, supera al precio de ejercicio de la opción, X (in the money), el límite inferior de dicho valor vendrá dado por la recta XI, puesto que cualquier inversor puede ejercer la opción al precio de ejercicio (X) y vender la acción en el mercado obteniendo un ingreso de [S-X], que sería el precio mínimo a pagar por la opción. Esta es la razón de que al emitir una opción in the money no interese ejercerla en el momento, dado que el precio de la misma es, cuando menos, igual a la posible ganancia esperada, con lo que el beneficio sería nulo o negativo (véase el ejemplo mostrado en la figura 2, para un precio de mercado hipotético S’). 

Por lo general, el precio de la opción (c) sigue una línea similar a la OBD. En el punto O, el valor de la acción es nulo, lo mismo que el de la opción. En el tramo OB, cuando S < X el precio de la opción toma un valor positivo y creciente debido aque el inversor espera que en el futuro el precio de la acción (S) en el mercado consiga superar al de ejercicio (X).

c = 0 x Prob [S ≤ X] + (S - X) x Prob [S > X] = (S - X) x Prob [S > X]

donde por pequeña que sea la probabilidad para el inversor de que S supere a X, el precio de la opción tomará un valor positivo. Así, pues, la relación entre el valor de la opción de compra y el precio de mercado del activo subyacente es directa; lo contrario ocurre en el caso de las opciones de venta, puesto que cuanto más pequeño es el precio del activo más vale la opción.

FACTORES QUE DETERMINAN EL PRECIO DE UNA OPCIÓN

El precio de una opción (prima o premium) está determinado básicamente por seis factores:

  1º. El valor intrínseco de la acción o del activo subyacente.

Cuanto mayor sea su valor, mayor será el precio de la opción de compra suscrita sobre ese título (considerando constantes el precio de ejercicio y la fecha de expiración del contrato). En la figura 2 se muestra el denominado diagrama de Bachelier, que nos muestra la relación entre el precio de la opción (call, en este caso) y el de la acción sobre la que fue emitida. La línea OM, que forma un ángulo de 45º sobre cada eje, indica la igualdad entre los precios de la opción y de su acción subyacente [c = S] en el caso de que el precio de ejercicio sea igual a cero siendo, por tanto, el límite superior del precio de la opción. Esto es así, porque si el precio de ésta última fuese superior al de su acción, al inversor le resultaría más barato adquirir directamente la acción en el mercado.

Fig.2. El precio de una opción de compra en relación al de la acción

INTRODUCCIÓN I

En la figura 1 se muestran ambas alternativas y es fácil darse cuenta de que si el precio del apartamento dentro de un año (S*) es mayor que el precio de ejercicio de la opción (X), da igual cuál sea la alternativa elegida pues transcurrido un año el flujo de caja de ambas es el mismo, es decir, S* (420.000 euros en nuestro ejemplo). Ahora bien, si el precio del apartamento se situase por debajo del precio de ejercicio (un precio de 380.000 euros en nuestro caso), la alternativa "a" recibiría un flujo de caja igual a S* (380.000 euros) mientras que la "b" lo tendría igual a X (400.000 euros); por lo tanto, en éste caso se recibiría un mayor flujo con la alternativa "b". Así, pues, parece lógico suponer que ésta última alternativa deberá tener un valor, al menos, igual o superior al de la "a", puesto que los flujos de caja que produce también son iguales o superiores

:  

 De esta manera, en nuestro ejemplo sabemos que la opción de adquirir el apartamento deberá valer, como mínimo, 3.084,62 euros. A través de este ejemplo hemos podido comprobar como el valor de una opción depende de una serie de factores como son: el valor de mercado del activo, el precio de ejercicio, el tipo de interés, el tiempo hasta el vencimiento, la volatilidad del activo subyacente y los dividendos o intereses que proporcionará dicho activo. Dichos factores van a ser analizados en el epígrafe siguiente.

INTRODUCCIÓN

Hay dos formas de que usted pueda garantizar que el apartamento será suyo dentro de un año:

a) Podría adquirirlo ahora mismo a un coste de 395.000 euros y alquilarlo durante un año por lo que recibirá 7.300 euros anuales por anticipado. Con lo que el coste neto sería de 387.700 euros.

b) Podría pagar una prima de c euros por el derecho a adquirir el apartamento dentro de un año por 400.000 euros. Y con objeto de asegurarse la posesión de dicha cantidad dentro de un año, podría invertir ahora

384.615,38 euros al 4% de interés anual con lo que recibirá el precio de ejercicio de la opción dentro de un año.

Valoración

INTRODUCCIÓN

Al Oeste de la ciudad de Madrid está situado el campus de Somosaguas donde se encuentra la Facultad de Económicas y Empresariales de la Universidad Complutense. Supongamos que un constructor le ofrece el derecho a comprar un apartamento cercano a dicho campus, cuya construcción terminará dentro de un año, por un precio de 400.000 euros a pagar en el momento de la entrega del piso. Usted sabe que el valor de mercado medio de un apartamento semejante en esa zona es en la actualidad de 395.000 euros, que los tipos de interés anuales son del 4% y que alquilar un apartamento idéntico implica unos flujos de caja anuales actualizados de 7.300 euros anuales. Usted se pregunta cuál es el valor de la opción de compra que el constructor le está intentando vender. Primeramente, deberá estimar la probabilidad de que los precios de los apartamentos dentro de un año se sitúen por encima de los 400.000 euros. Si esa probabilidad fuese nula la opción carecería de valor (usted no va a pagar un precio mayor del que piensa que va a alcanzar el apartamento dentro de un año). 

Ahora bien, aún cuando espere que los precios de los apartamentos caigan por debajo de 400.000 euros dentro de un año, siempre habrá una pequeña probabilidad de que asciendan por encima de dicha cifra. Cuanto mayor sea el plazo para ejercer la opción mayor será esa probabilidad. Supongamos dos casos posibles, por un lado, que el precio dentro de un año sea de 420.000 euros o, por otro, que sea de 380.000 euros.

EJERCICIOS IV

9º) A la muerte de su abuela, hace ya varios años, Tania González recibió como parte de su herencia 2.000 acciones del Banco Popular. El precio de dichas acciones en aquel momento era de 75 € por acción, lo que representaba el coste inicial de cada título de Tania. Posteriormente en 2000, Tania adquirió un apartamento

para sus padres a un coste total de 160.000 €, pagables en su totalidad en Marzo de 2001. Por ello Tania pensó en vender sus acciones para financiar la adquisición del piso.

Al final del año 2000, el precio de mercado de las acciones estaba alrededor de los 75 € por acción con tendencia a la baja. Esto preocupaba a Tania que pensó que las acciones podían caer fuertemente antes de proceder a su venta con lo que no tendría suficiente dinero para comprar el apartamento en Marzo de 2001.

Tania decidió visitar a tres analistas de inversiones que le aconsejasen sobre cómo desarrollar una estrategia que, al menos, protegiese el valor de su principal (unos 150.000 €). Idealmente, la estrategia debería poder aumentar el valor de su inversión hasta los 160.000 € necesarios para sufragar el coste total del piso. Se discutieron cuatro alternativas:

a) Tania pensaba que lo mejor sería vender ahora sus acciones y reinvertir el dinero obtenido al 10% de interés durante los tres meses que quedaban hasta Marzo de 2001.

b) Inversiones Adam aconsejaba a Tania que emitiera una opción de compra sobre el Banco Popular con vencimiento en Marzo y precio de ejercicio de 80 €. Estas opciones valían 2 €, en ese momento.

c) Ríos y Compañía, le sugirieron que adquiriese opciones de venta sobre el Banco at-the-money con vencimiento en Marzo de 2001. Su precio era de 2 €.

d) Varela y Asociados le recomendaron mantener sus acciones, adquirir opciones de venta at-the-money sobre el Banco con vencimiento en Marzo, y financiar la compra vendiendo opciones de compra con vencimiento en Marzo y con un precio de ejercicio de 80 €. 

Es decir, es una combinación de b y c.

Haciendo caso omiso de los costes de transacción, dividendos y garantías necesarias, clasifique las cuatro alternativas con arreglo a la posibilidad de cumplir los objetivos señalados anteriormente. Apoye sus explicaciones con los gráficos de los flujos de caja de cada una de ellas.

EJERCICIOS III

7º) Amalia Fernández ha establecido el siguiente diferencial o spread con las opciones sobre Volkswagen que vencen dentro de tres meses:
a) Adquirió una opción de compra con un precio de ejercicio de 55 € y una prima de 3 €
b) Adquirió una opción de venta con un precio de ejercicio de 45 € y un precio de 0,5 €
El precio actual de las acciones de VW es de 50 €. Determine el resultado de la estrategia de Amalia en la fecha del vencimiento de las opciones si:
a) El precio de las acciones de la empresa se mantiene idéntico al actual.
b) El precio de las acciones de VW cae hasta los 35 €
c) El precio de dichas acciones asciende hasta los 60 €
8º) Considere la siguiente cartera de opciones. Usted emite una opción de compra con vencimiento en Abril sobre Telefónica con un precio de ejercicio de 10 € por la que recibe una prima de 0,2 €; y, al mismo tiempo, emite una opción de venta sobre dicha empresa con vencimiento en Abril y precio de ejercicio 9,5 €, recibiendo 0,7 €, en concepto de prima de la opción.
a) Represente gráficamente los flujos de caja de esta cartera en la fecha de vencimiento de las opciones como función del precio de las acciones de Telefónica.
b) ¿Cuál será el resultado de la cartera si el precio de la acción subyacente se situase en 9,70 €, en la fecha de vencimiento?, ¿qué ocurriría si el precio fuese de 11,50 €?.
c) ¿Qué tipo de estrategia está realizando usted con esta cartera, es decir, qué piensa usted que ocurrirá con las acciones de Telefónica?